推导小角度下的双摆振动频率
对于质量相等、摆长相等且在小角度近似下的双摆系统，分析两球的运动方程，求解系统的特征频率（角频率）。 假设两个小球质量均为 $m$，摆线长度均为 $l$，且满足小角度近似 $sin \theta \approx \theta$， $cos\theta =1-\frac{\theta^2}{2}$。 写出系统的动能 $T$： $$ T = \frac{1}{2}ml^2\left( 2\dot{\theta_1}^2+\dot{\theta_2}^2 + 2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2} \right) $$ 系统势能 $V$: $$ V=\frac{1}{2} mgl\left(2\theta_1^2 +\theta_2^2 \right) -3mgl $$ 写出拉格朗日方程： $$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_i}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_i} = 0 $$ 角度 $\theta_i$ 有两个 $\theta_1$，$\theta_2$，有两个拉格朗日方程。 $$ 2\ddot{\theta_1} + \ddot{\theta_2}+2\frac{g}{l}\theta_1=0 $$ $$ \ddot{\theta_1} + \ddot{\theta_2}+\frac{g}{l}\theta_2=0 $$ 假设运动满足简谐振动： $\theta_1 = Acos(\omega t)$，$\theta_2 = Bcos(\omega t)$，代入可得： $$ 2g/l-2\omega^2)A -\omega^2 B=0 $$ ...