对于质量相等、摆长相等且在小角度近似下的双摆系统，分析两球的运动方程，求解系统的特征频率（角频率）。
假设两个小球质量均为 $m$，摆线长度均为 $l$，且满足小角度近似 $sin \theta \approx \theta$， $cos\theta =1-\frac{\theta^2}{2}$。
写出系统的动能 $T$：
$$ T = \frac{1}{2}ml^2\left( 2\dot{\theta_1}^2+\dot{\theta_2}^2 + 2\dot{\theta_1}\dot{\theta_2} \right) $$
系统势能 $V$:
$$ V=\frac{1}{2} mgl\left(2\theta_1^2 +\theta_2^2 \right) -3mgl $$
写出拉格朗日方程：
$$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta_i}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta_i} = 0 $$
角度 $\theta_i$ 有两个 $\theta_1$，$\theta_2$，有两个拉格朗日方程。
$$ 2\ddot{\theta_1} + \ddot{\theta_2}+2\frac{g}{l}\theta_1=0 $$
$$ \ddot{\theta_1} + \ddot{\theta_2}+\frac{g}{l}\theta_2=0 $$
假设运动满足简谐振动： $\theta_1 = Acos(\omega t)$，$\theta_2 = Bcos(\omega t)$，代入可得： $$ 2g/l-2\omega^2)A -\omega^2 B=0 $$
$$ -\omega^2 A + (g/l-\omega^2)B =0 $$
有解使得系数行列式为零，则有解为 $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}(2\pm\sqrt{2})}$。
得到两种振动的频率为 $\omega_1 =\sqrt{\frac{g}{l}(2+\sqrt{2})} $， $\omega_2=\sqrt{\frac{g}{l}(2-\sqrt{2})} $。
则小球的运动可以是这两种振动的线性叠加。
当两种振动频率接近时，会出现 拍 现象。
但是两个振动频率如何才会接近呢？ 嗯！改变两摆球的质量！
当我们考虑摆球质量，则两种振动频率可以表示为：
$$ \omega^2 = \frac{g}{l} \left[ 1+\mu \pm \sqrt{(1+\mu)\mu} \right] $$
其中 $\mu = \frac{m_2}{m_1}$[1]。
假设 $g/l = 1$，频率 $\omega_1$, $\omega_2$ 和质量比 $\mu$ 的关系如下图所示
当 $\mu$ 非常接近 $0$，即上摆球质量 $m_1$ 远大于下摆球质量 $m_2$，两球振动频率接近，出现拍现象。
Reference: [1] https://math24.net/double-pendulum.htm